ADENOMYOSIS BAGIAN 1

BAB VI

LINGKARAN

Standar Kompetensi :

6. Menentukan unsur, bagian lingkaran serta ukurannya

Kompetensi Dasar :

6.1 Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran.

6.2 Menghitung keliling dan luas lingkaran.

6.3 Menghubungkan sudut pusat, pnjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah.

6.4 Menghitung panjang garis persekutuan dua lingkaran.

6.5 Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

• dapat menyebutkan perbedaan persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear dua variabel;

• dapat mengenal sistem persamaan linear dua variabel dalam berbagai bentuk dan variabel;

• dapat menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan substitusi dan eliminasi;

• dapat membuat model matematika dari masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel;

• dapat menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya.

Materi

A. LINGKARAN DAN UNSUR-UNSURNYA

     1. Pengertian Lingkaran

       

        Perhatikan Gambar 6.2(b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik-titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar 6.2(b), jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran .

    2. Unsur-Unsur Lingkaran 

                     

      

        Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

       a. Titik Pusat

           Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar 6.3, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

      b. Jari-Jari (r)

         Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. Pada Gambar 6.3, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.

      c. Diameter (d)

         Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Garis AB pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya, ditulis bahwa d = 2r.

     d. Busur

        Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar 6.3, garis lengkung AC (ditulis ), garis lengkung CB (ditulis ), dan garis lengkung AB (ditulis ) merupakan busur lingkaran O.

   e. Tali Busur

      Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran O. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AC yang tidak melalui titik pusat pada Gambar 6.3.

    f. Tembereng

       Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar 6.3, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AC dan tali busur AC.

    g. Juring

       Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar 6.3, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

   h. Apotema

       Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar 6.3 secara seksama. Garis OE merupakan garis apotema pada lingkaran O.

B.KELILING DAN LUAS LINGKARAN

    1. Menemukan Pendekatan Nilai π(pi)

        Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan nilai π (pi).

        KEGIATAN

        a. Buatlah lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm, dan 3 cm.

        b. Ukurlah diameter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris.

       c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris.

       d. Buatlah tabel seperti di bawah ini dan hasil pengukuran yang telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut.

             Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang diperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan? Apakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dan diameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)?

             Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai (keliling )/diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk selanjutnya, nilai (keliling )/diameter disebut sebagai konstanta π. (π dibaca: pi).

                                      (keliling )/diameter= π

            π bukan bilangan pecahan, namun bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa □(a/b) Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga.

           Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai π = 3,14 159265358979324836 ... .

           Jadi, nilai π hanyalah suatu pendekatan.

           Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk S adalah 3, 14. Coba bandingkan nilai π dengan pecahan 22/7. Bilangan pecahan 22/7 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi, bilangan 22/7 dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.

                                                π=3,14 atau 22/7

    2. Menghitung Keliling Lingkaran

        Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan (keliling (K))/(diameter (d)) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut π .

        Karena ((K))/((d))=π , sehingga didapat K=πd.

        Karena panjang diameter adalah 2 X jari-jari atau d = 2r, maka K=2πr. Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah

                                               K=πd atau K=2πr

    3. Luas Lingkaran 

         Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Coba kamu perhatikan Gambar 6.5. Daerah yang diarsir merupakan

Sekarang, bagaimana menghitung luas sebuah lingkaran?

         Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus umum luas lingkaran. Perhatikan uraian berikut. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 16 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun sedemikian sehingga membentuk persegipanjang. Coba kamu amati Gambar 6.6 berikut ini.

 

       Jika kamu amati dengan teliti, susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar r sehingga luas bangun tersebut adalah

                                               Luas persegipanjang = p × l
                                                                              = 1/2 keliling lingkaran ×r
                                                                              = 1/2×2πr×r
       Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.
                                               Luas lingkaran=    
      Jadi, diperoleh luas persegipanjang tersebut : L = Panjang × Lebar
                                                                          = π×r×r
                                                                          =
      Dengan demikian, luas daerah lingkaran tersebut dapat dirumuskan:
                                 Luas lingkaran= atau Luas lingkaran

C. HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR DAN LUAS JURING

         Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar 6.9,∠AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB.
         Untuk menentukan hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring lakukan kegiatan berikut.
         KEGIATAN
         a. Buatlah lingkaran dengan pusat di O berjari-jari 5 cm.

         b. Pada lingkaran tersebut buatlah sudut pusat ∠ AOB = dan ∠ COD =(Gambar 6.10 (i)).
         c. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan panjang busur, ukurlah dan dengan menggunakan benang. Bagaimana hubungan panjang dan ?
         d. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan luas juring, jiplaklah juring OAB dan potong sekeliling juring OAB. Kemudian ukurlah juring OCD dengan menggunakan juring OAB (Gambar 6.10 (ii) dan (iii)). Apakah besar juring OCD dua kali besar juring OAB?
         e. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudut pusat, panjang kedua busur, dan luas kedua juring.
         Jika kegiatan ini kalian lakukan dengan teliti maka akan diperoleh bahwa (besar ∠AOB)/(besar ∠AOD)=(panjang busurv)/(panjang busur )=(luas juring OAB)/(luas juring OAD)=1/2

‘         Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya. Sekarang perhatikan Gambar 6.11 (i).
         Dari gambar tersebut diperoleh
(besar ∠AOB)/(besar ∠AOD)=/(panjang )=(luas juring OAB)/(luas juring OAD)

     
         Sekarang, misalkan‘∠ COD = satu putaran penuh = maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar 6.11 (ii), sehingga diperoleh
(besar ∠AOB)/ =(panjang (AB) ̂)/2πr=(luas juring OAB)/

          Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar 6.11 adalah
           Panjang busur=α/=2πr
           Luas juring=α/ =
           Luas tembereng AB = Luas juring OAB – Luas ∆OAB

D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN
     1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling
         Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

    2. Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran
        Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya (sudut siku-siku).


    3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama
        Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau ½ x sudut pusatnya.
E. SEGIEMPAT TALI BUSUR
    1. Pengertian Segi Empat Tali Busur
        Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran.

    2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur
        • Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah
        • Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku.
        • Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang.
        • Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi

F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR
    1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran
        Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.
    2. Sudut Antar Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Luar Lingkaran
        Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

CONTOH SOAL BAB VI.docx
LATIHAN BAB VI.docx