Fee_Three

BAB V

TEOREMA PYTHAGORAS

Standar Kompetensi :

5. Menggunakan teorema pythagoras dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

5.1 Menggunakan teorema Pythagoras untuk menentukan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.

5.2 Memecahkan masalah pada bangun datar yang berkaitan dengan teorema Pythagoras.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

a. dapat menemukan teorema Pythagoras;

b. dapat menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jika dua sisi lain diketahui;

c. dapat menghitung perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku istimewa;

d. dapat menghitung panjang diagonal pada bangun datar.

Materi :

A. TEOREMA PYTHAGORAS

1. Pengertian Teorema Pythagoras

Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569–475 sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain. Untuk membuktikan hal ini, coba kamu lakukan Kegiatan 5.1.

Kegiatan 5. 1

1. Sediakan kertas karton, pensil, penggaris, lem, dan gunting.

2. Buatlah empat buah segitiga yang sama dengan panjang sisi alas a = 3 cm, sisi tegak b = 4 cm, dan sisi miring c = 5 cm. Lalu guntinglah segitiga-segitiga itu.

3. Buatlah sebuah persegi dengan panjang sisi yang sama dengan sisi miring segitiga, yaitu c = 5 cm. Warnailah daerah persegi tersebut, lalu guntinglah.

4. Tempelkan persegi di karton dan atur posisi keempat segitiga sehingga sisi c segitiga berimpit dengan setiap sisi persegi dan terbentuk sebuah persegi besar dengan sisi (a + b). Lihat gambar berikut.

5. Isilah titik-titik untuk mencari hubungan antara a, b, dan c.

Luas persegi besar = luas persegi kecil + (4 × Luas segitiga)
$\left (a+\cdots \right )^{2}=\left (\cdots \right )^{2}+\left [4\times \frac{\cdots \times b}{\cdots } \right ]$

$a^{2}+2ab+b^{2}=\left (\cdots \right )^{2}+\cdots$
$\left (\cdots \right )^{2}+2\cdot 3\cdot 4+\left (\cdots \right )^{2}=\left (\cdots \right )^{2}+\cdots$
$\left (\cdots \right )^{2}+\cdots +\left (\cdots \right )^{2}=\left (\cdots \right )^{2}+\cdots$
$\left (\cdots \right )^{2}=\left (\cdots \right )^{2}$
$\cdots =\cdots$

6. Ulangi langkah-langkah diatas untk nilai a = 6, b = 8, dan c = 10. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kamu ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan c?

Jika kamu perhatikan dengan cermat akan diperoleh hubungan $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , dimana c adalah panjang sisi miring, a adalah panjang alas, dan b adalah tinggi. Dari hubungan tersebut dapat dikatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainya. Inilah yang disebut teorema Pythagoras.

Cara lain untuk membuktikan teorema Pythagoras adalah dengan menempatkan persegi di setiap sisi segitiga siku-siku. Coba kamu perhatikan Gambar 5.2 secara saksama.

Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga yang memiliki persegi pada setiap sisinya. Ukuran segitiga tersebut adalah

• Panjang sisi miring = AC = 5 satuan.

• Tinggi = BC = 3 satuan.

• Panjang sisi alas = AB = 4 satuan.

Perhatikan bahwa luas persegi pada sisi miring sama dengan luas persegi pada sisi alas ditambah luas persegi pada tinggi segitiga. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Luas persegi pada sisi miring = luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi.

25 = 16 + 9

$5^{2}=4^{2}+3^{2}$

$\left (AC \right )^{2}=\left (AB \right )^{2}+\left (BC \right )^{2}$

Sekali lagi, uraian ini membenarkan kebenaran teorema Pythagoras.

2. Penulisan teorema Pythagoras

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku. Coba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas c, dan tinggi a. Berdasarkan, teorema Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku:

Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Seperti panjang sisi alas c atau tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan sebagai berikut.

$b^{2}=c^{2}+a^{2}\Rightarrow c^{2}=b^{2}-a^{2}$

$c=\sqrt{b^{2}-a^{2}}$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}\Rightarrow a^{2}=b^{2}-c^{2}$

$a=\sqrt{b^{2}-c^{2}}$

Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut.

$c=\sqrt{b^{2}-a^{2}}$

$b=\sqrt{c^{2}+a^{2}}$

$a=\sqrt{b^{2}-c^{2}}$

B. PENGGUNAAN TEOREMA PYTHAGORAS

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, teorema Pythagoras banyak sekali digunakan dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada suatu bangun ruang.

Berikut ini akan diuraikan penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga dan bangun datar.

1. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-sisi segitiga

Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang kedua sisi lain diketahui.

Contoh :

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC = 8 cm. Hitunglah panjang AC.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan teorema Pythagoras berlaku

$\left (AC \right )^{2}=\left (AB \right )^{2}+\left (BC \right )^{2}$

$=6^{2}+8^{2}$

= 36 + 64

= 100

AC = √100 = 10

Jadi, panjang AC = 10 cm.

2. Kebalikan Teorema Pythagoras untuk Menentukan Jenis Suatu Segitiga

Kebalikan teorema Pythagoras menyatakan bahwa untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.

Berdasarkan besar sudutnya segitiga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu segitiga tumpul, segitiga siku-siku, dan segitiga lancip.

• pada segitiga lancip, semua titik sudutnya berukuran kurang dari 90°.

• Segitiga siku-siku, salah satu titik sudutnya berukuran 90°

• Segitiga tumpul, salah satu titik sudutnya berukuran lebih dari 90°

Pada suatu segitiga berlaku

jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut siku-siku.

jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut lancip.

jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut tumpul.

3. Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.

4. Perbandingan Sisi-sisi Pada Segitiga Siku-siku dengan Sudut Khusus

a. Sudut 30° dan 60°

Perhatikan Gambar 5.9.

Segitiga ABC di atas adalah segitiga sama sisi dengan AB = BC = AC = 2x cm dan < A = < B = < C = 60°. Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi < C, sehingga

< ACD = < BCD = 30°.

Diketahui < ADC = < BDC = 90°.

Titik D adalah titik tengah AB, di mana AB = 2x cm, sehingga panjang BD = x cm.

Perhatikan ∆CBD.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

$\left (CD \right )^{2}=\left (BC \right )^{2}-\left (BD \right )^{2}$

$CD=\sqrt{\left (BC \right )^{2}-\left (BD \right )^{2}}$

$=\sqrt{\left (2x \right )^{2}-x^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3x^{2}}=x\sqrt{3}$

Dengan demikian, diperoleh perbandingan :

BD : CD : BC = x : x√3 : 2x

= 1: √3 : 2.

Perbandingan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan segitiga siku-siku khusus.

b. Sudut 90°

Perhatikan Gambar 5.11. Segitiga ABC pada Gambar 5.11 adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm dan ∠A = ∠C = 45o.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

$\left (AC \right )^{2}=\left (AB \right )^{2}+\left (BC \right )^{2}$

$AC=\sqrt{\left (AB \right )^{2}+\left (BC \right )^{2}}$

$\sqrt{\left (x^{2}+x^{2} \right )}=\sqrt{2x^{2}}=x\sqrt{2}$

Dengan demikian, diperoleh perbandingan :

AB : BC : AC = x : x : x√2

= 1: 1: √2

4. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar dan Bangun Ruang

Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangun ruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi-sisi yang belum diketahui.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm pada Gambar 5.12.

Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH? Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidang datar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lain AF , BD , CH, dan DE . Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisi BD.

Perhatikan persegi ABCD. BD adalah salah satu diagonal sisi bidang ABCD. Sekarang, perhatikan ∆ABD. Karena ∆ABD siku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh

$\left (BC \right )^{2}=\left (AD \right )^{2}+\left (AB \right )^{2}$

$=a^{2}+a^{2}=\left (2a \right )^{2}$

$BD=\sqrt{\left (2a \right )^{2}}=a\sqrt{2}$

Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH? Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu bangun ruang.

Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain HB dan FD . Perhatikan ∠BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentukan panjang diagonal ruang HB dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.

$\left (HB \right )^{2}=\left (BD \right )^{2}+\left (DH \right )^{2}$

$=\left (a\sqrt{2} \right )^{2}+a^{2}=2a^{2}+a^{2}=3a^{2}$

$HB=\sqrt{\left (3a \right )^{2}}=a\sqrt{3}$

C. MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI MENGUNAKAN TEOREMA PYTHAGORAS

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam soal cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk memudahkan menyelesaikannya diperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh berikut.

Contoh:

Seorang anak menaikan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada dibawah layang-layang adalah 60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang.

Penyelesaian :