FUNGSI
Standar Kompetensi :
2. Memahami Relasi dan Fungsi serta Menggunakannya dalam Pemecahan Masalah.
Kompetensi Dasar :
2.1 Memahami Relasi dan Fungsi
2.2 Membuat Sketsa Grafik Fungsi Aljabar pada Sistem Koordinat Cartesius
2.3 Menentukan Nilai Fungsi
Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:
a. dapat menjelaskan dengan kata-kata dan menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan relasi dan fungsi;
b. dapat menyatakan suatu fungsi dengan notasi;
c. dapat menghitung nilai fungsi;
d. dapat menentukan bentuk fungsi jika nilai dan data fungsi diketahui;
e. dapat menyusun tabel pasangan nilai peubah dengan nilai fungsi;
f. dapat menggambar grafik fungsi pada koordinat Cartesius.
Materi :
A.RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.
2. Cara Menyajikan Suatu Relasi
Suatu relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
a. Dengan diagram panah
Gambar 2.2 di bawah menunjukkan relasi pelajaran yang disukai dari himpunan A ke himpunan B. Arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.
b. Dengan diagram Cartesius
Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah. Gambar 2.3 menunjukkan diagram Cartesius dari relasi pelajaran yang disukai dari data pada table 2.1.
c. Dengan himpunan pasangan berurutan
Himpunan pasangan berurutan dari data pada tabel 2.1 sebagai berikut. {(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}.
B.FUNGSI ATAU PEMETAAN
1. Pengertian Fungsi
Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.
Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah
a. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;
b. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar di samping. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Dari gambar tersebut, kamu juga memperoleh:
• 2 ∈ B merupakan peta dari 1 ∈ A
• 3 ∈ B merupakan peta dari 2 ∈ A
• 4 ∈ B merupakan peta dari 3 ∈ A
Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada Gambar 2.5 diperoleh:
• Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}.
• Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.
• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}.
3. Menyatakan Fungsi dalam Diagram Panah, Diagram Cartesius, dan Himpunan Pasangan Berurutan
Kalian telah mempelajari bahwa suatu relasi dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, maka fungsi juga dapat dinyatakan dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f: A → B ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka
f(1) = 1 – 2 = –1
f(3) = 3 – 2 = 1
f(5) = 5 – 2 = 3
Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut sebagai berikut.
b. Diagram Cartesius dari fungsi f sebagai berikut.
c. Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(1, –1), (3, 1), (5, 3)}.
Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasangan berurutan.
4. Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka
1. banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah b^a;
2. banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah a^b.
5. Grafik Fungsi/Pemetaan
Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat grafik pemetaannya. Grafik suatu pemetaan (fungsi) adalah bentuk diagram Cartesius dari suatu pemetaan (fungsi).
Perhatikan kembali Gambar 2.5 . Aturan yang memetakan himpunan A ke himpunan B pada gambar tersebut adalah untuk setiap x anggota A dipetakan ke (x + 1) anggota B. Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h. Jika fungsi pada Gambar 2.5 dinamakan f maka fungsi tersebut dinotasikan dengan f: x → x + 1 (dibaca: fungsi f memetakan x ke x + 1).
Dengan demikian, pada pemetaan f: x → x + 1 dari himpunan A ke himpunan B diperoleh.
Untuk x = 1, f: 1 → 1 + 1 atau f: 1 → 2 sehingga (1, 2)∈ f,
Untuk x = 2, f: 2 → 2 + 1 atau f: 2 → 3 sehingga (2, 3) ∈f,
Untuk x = 3, f: 3 → 3 + 1 atau f: 3 → 4 sehingga (3, 4) ∈f.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x → x + 1, tabelnya adalah sebagai berikut.
Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada Tabel 2.6 dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x → x + 1 seperti tampak pada Gambar 2.6 .
Gambar 2.6 merupakan grafik Carteius fungsi f: x → x + 1 dengan domain Df = A = {1, 2, 3,}, kodomain B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4} yang digambarkan dengan noktah-noktah. Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada Gambar 2.6.
a. Notasi Fungsi
Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus fungsi f adalah f (x) = ax + b.
b. Menghitung Nilai Fungsi
Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:
a. f (1),
b. f (2),
c. bayangan (–2) oleh f,
d. nilai f untuk x = –5,
e. nilai x untuk f (x) = 8,
f. nilai a jika f (a) = 14.
Jawab :
Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat.
Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2.
a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0
b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2
c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (–2).
Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6
d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12
e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah
2x – 2 = 8
2x = 8 + 2
2x = 10
x = 5
f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah
2a – 2 = 14
2a = 14 + 2
2a = 16
a = 8
c. Menentukan Rumus Fungsi
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari cara menentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang, kalian akan mempelajari kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jika nilai fungsinya diketahui.
Pada pembahasan ini bentuk fungsi yang kalian pelajari hanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentuk fungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan kalian pelajari pada tingkat yang lebih tinggi.
Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x → ax + b, dengan a dan b konstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m) = am + b.
Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui.
d.Mengitung Nilai Perubahan Fungsi Jika Nilai Variabelnya Berubah
Kalian telah mempelajari bahwa suatu fungsi f(x) mempunyai variabel x dan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapat menghitung nilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya.
Misalkan fungsi f ditentukan oleh f : x→ 5x + 3 dengan domain {x/–1 ≤x ≤3, x ∈bilangan bulat}. Nilai fungsi dari variabel x adalah
f(–1) = 5(–1) + 3 = –2;
f(0) = 5(0) + 3 = 3;
f(1) = 5(1) + 3 = 8;
f(2) = 5(2) + 3 = 13;
f(3) = 5(3) + 3 = 18;
Jika variabel x diubah menjadi x + 3 maka kita harus menentukan nilai dari fungsi f(x + 3). Untuk menentukan nilai f(x + 3), terlebih dahulu kalian harus menentukan variabel baru, yaitu (x + 3) sehingga diperoleh nilai-nilai variabel baru sebagai berikut.
–1 + 3 = 2
0 + 3 = 3
1 + 3 = 4
2 + 3 = 5
3 + 3 = 6
Setelah kalian menentukan nilai-nilai variabel baru, yaitu (x + 3) = 2, 3, 4, 5, 6, tentukan nilai-nilai f(x + 3) berdasarkan pemetaan f : (x + 3) → 5(x + 3) + 3. Dengan demikian, diperoleh
f(2) = 5 (2) + 3 = 13;
f(3) = 5 (3) + 3 = 18;
f(4) = 5 (4) + 3 = 23;
f(5) = 5 (5) + 3 = 28;
f(6) = 5 (6) + 3 = 33;
Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) yaitu selisih antara f(x) dan f(x + 3), dituliskan f(x + 3) – f(x).
Untuk menentukan nilai perubahan fungsi f(x) dapat dinyatakan seperti tabel berikut.
Cara lain untuk menentukan nilai perubahan fungsi sebagai berikut.
Tentukan terlebih dahulu fungsi f(x + 3).
Diketahui f(x) = 5x + 3 maka
f(x + 3) = 5(x + 3) + 3
= 5x + 15 + 3
= 5x + 18
Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisih antara f(x) dan f(x + 3) sebagai berikut.
f(x + 3) – f(x) = (5x + 18) – (5x + 3)
= 5x + 18 – 5x – 3
= 15
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN BAB II.docx
LATIHAN BAB II.docx
Komentar
Posting Komentar